Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Содержание
  1. Наименьшее общее кратное
  2. Как найти НОК
  3. С помощью разложения на простые множители
  4. нахождение нок через нод
  5. калькулятор нок
  6. Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК
  7. Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
  8. Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
  9. Нахождение НОК трех и большего количества чисел
  10. Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
  11. Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы
  12. Свойства наибольшего общего делителя
  13. Способы нахождения наибольшего общего делителя
  14. 1. Разложение на множители
  15. 2. Разложение двух чисел на простые множители
  16. 3. Алгоритм Евклида
  17. Конспект
  18. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов — 1, 2, 3, 4, … Но число 0 не является натуральным!
  19. Арифметические действия над натуральными числами
  20. 1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
  21. 2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность
  22. 3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение
  23. 4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое : Делитель = Частное
  24. Порядок действий
  25. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.
  26. Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом
  27. Признаки делимости  на  2,  5,  3,  9,  10,  4,  25  и  11.
  28. Наибольший общий делитель 
  29. Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми
  30. Наименьшее общее кратное
  31. Деление с остатком
  32.  а = b • n + r,
  33. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритмы их нахождения и свойства
  34. Свойства НОД и НОК
  35. Сравнимость по модулю
  36. Пример №1.

Наименьшее общее кратное

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Пример.

Числу  3  кратны числа:  6,  9,  12,  15  и т. д.

Числу  4  кратны числа:  8,  12,  16,  20  и т. д.

Можно заметить, что одно и тоже число  (12)  делится нацело сразу на оба числа  3  и  4.  Следовательно, число  12  есть общее кратное чисел  3  и  4.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел  2,  3,  4,  6.

Решение:

2 · 3 · 4 · 6 = 144.

Число  144  — общее кратное чисел  2,  3,  4  и  6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел  12  и  20  кратными будут числа:  60,  120,  180,  240  и т. д. Все они являются общими кратными для чисел  12  и  20.

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел  3,  4  и  9  является число  36,  никакое другое число меньше  36  не делится одновременно на  3,  4  и  9  без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

НОК (a, b, …) = x.

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел  3,  4  и  9:

НОК (3, 4, 9) = 36.

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

чтобы найти нок нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

пример. найдите наименьшее общее кратное двух чисел  99  и  54.

решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11,

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33.

наименьшее общее кратное должно делиться на  99,  значит, в его состав должны входить все множители числа  99.  далее нок должно делиться и на  54,  т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. получим следующее произведение:

2 · 33 · 11 = 594.

это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. никакое другое число меньше  594  не делится нацело на  99  и  54.

ответ:  нок (99, 54) = 594.

так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

пример. найдите наименьшее общее кратное двух чисел  12  и  49.

решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,

49 = 7 · 7 = 72.

применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 980.

ответ:  нок (12, 49) = 980.

таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

пример. найдите наименьшее общее кратное чисел  5,  7  и  13.

решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

5 · 7 · 13 = 45.

ответ:  нок (5, 7, 13) = 455.

если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

пример. найдите наименьшее общее кратное чисел  24,  12  и  4.

решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3,

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,

4 = 2 · 2 = 22.

можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

23 · 3 = 24.

ответ:  нок (24, 12, 4) = 24.

нахождение нок через нод

нок двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их нод.

https://www.youtube.com/watch?v=Lkw7OMRlsLk

правило в общем виде:

нок (m, n) = m · n : нод (m, n)

пример. найдите наименьшее общее кратное двух чисел  99  и  54.

решение: сначала находим наибольший общий делитель:

нод (99, 54) = 9.

теперь мы можем вычислить нок этих чисел по формуле:

нок (99, 54) = 99 · 54 : нод (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

ответ:  нок (99, 54) = 594.

чтобы найти нок трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

  1. находят нок любых двух из данных чисел.
  2. затем находят наименьшее общее кратное найденного нок и третьего числа и т. д.
  3. таким образом поиск нок продолжается до тех пор, пока есть числа.

пример. найдите наименьшее общее кратное чисел  8,  12  и  9.

решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например,  12  и  8:

нод (12, 8) = 4.

вычисляем их нок по формуле:

нок (12, 8) = 12 · 8 : нод (12, 8) = 96 : 4 = 24.

теперь найдём нок числа  24  и оставшегося числа  9.  их нод:

нод (24, 9) = 3.

вычисляем нок по формуле:

нок (24, 9) = 24 · 9 : нод (24, 9) = 216 : 3 = 72.

ответ:  нок (8, 12, 9) = 72.

калькулятор нок

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.

Список литературы|contact@izamorfix.ru
2018 − 2021©izamorfix.ru

Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Определение 1

Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70.

Решение

Примем a=126, b=70. Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Найдет НОД чисел 70 и 126. Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, НОД(126, 70)=14.

Вычислим НОК:НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.

Ответ: НОК(126, 70)=630.

Пример 2

Найдите нок чисел 68 и 34.

Решение

НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34. Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68.

Ответ: НОК(68, 34)=68.

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

  • составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
  • исключаем их полученных произведений все простые множители;
  • полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел.

При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют  в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числе 75 и 210. Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2·3·3·5·5·5·7.

Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5, мы получим произведение следующего вида: 2·3·5·5·7=1050. Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210.

Пример 4

Найдите НОК чисел 441 и 700, разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

44114749713377

700350175357122557

Получаем две цепочки чисел: 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Найдем общие множители. Это число 7. Исключим его из общего произведения: 2·2·3·3·5·5·7·7. Получается, что НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Ответ: НОК(441, 700)= 44 100.

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

  • разложим оба числа на простые множители:
  • добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
  • получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам 75 и 210, для которых мы уже искали НОК в  одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. К произведению множителей 3, 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210. Получаем: 2·3·5·5·7. Это и есть НОК чисел 75 и 210.

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648.

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Добавим к произведению множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2, 3, 3 и
3 числа 648. Получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7=4536. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648​​​​​​ ​.

Ответ: НОК(84, 648)=4 536.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа a1, a2, …, ak. НОК mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное  четырех чисел 140, 9, 54 и 250.

Решение

Введем обозначения: a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Начнем с того, что вычислим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4. Получаем: НОД(140, 9)=1, НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=140·9:1=1 260. Следовательно, m2=1 260.

Теперь вычислим по тому е алгоритму m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). В ходе вычислений получаем m3=3 780.

Нам осталось вычислить m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Действуем по тому же алгоритму. Получаем m4=94 500.

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500.

Ответ: НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий: 

  • раскладываем все числа на простые множители;
  • к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
  • к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
  • полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7, 143=11·13. Простые числа, которым является число 7, на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3. Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48, из произведения простых множителей которого берем 2 и 2. Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2·2·2·2·3·7·11·13=48 048. Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и −a – противоположные числа,
то  множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a.

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел −145 и −45.

Решение

Произведем замену чисел −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Теперь по алгоритму вычислим НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=145·45:5=1 305, предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел −145 и −45 равно 1 305.

Ответ: НОК(−145, −45)=1 305.

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Разобраться во всех правилах и быстро щелкать задачки помогут внимательные учителя детской школы Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой, увлекательные математические комиксы и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и вдохновим на учебу.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

 

  1. Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.
  2. А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.
  3. Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

  1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

    Д (28) = 2 * 2 * 7

    Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

  2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

    НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство   Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.   Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.   В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.
  • Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

  • Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство   Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.   Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

ДоказательствоЕсли умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно тремя способами. Рассмотрим все три, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

  1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:
  2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

    2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

  1. Разложим 15 и 28 на простые множители:
  2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

2. Разложение двух чисел на простые множители

С последующим перемножением общих из них.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

  1. Разложим оба числа на простые множители:
  2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.
  3. Перемножим общие множители:

    НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

3. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

  1. Большее число поделить на меньшее.
  2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
  3. Первый остаток поделить на второй остаток.
  4. Второй остаток поделить на третий и т. д.
  5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

  1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)
  2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)
  3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)
  4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

  1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
  2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
  3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Конспект

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2,  3,  5,  9,  4,  25,  10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов — 1, 2, 3, 4, … Но число 0 не является натуральным!

Множество натуральных чисел обозначают N. Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.

Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.  Первые четыре действия являются арифметическими.

Пусть a, b и c — натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения1. Переместительное а + b = b + а.2. Сочетательное а + (b + с) = (а + b) + с.

3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.2. Вычитание числа из суммы  (а + b) — с = а + (b — с);   (а + b) — с = (а — с) + b.3. а — 0 = а.

4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения1. Переместительное а*b = b*а.2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.3. 1 * а = а * 1 = а.4. 0 * а = а * 0 = 0.

5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс;   (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое : Делитель = Частное

Свойства деления1. а : 1 = а.

2. а : а = 1.   Делить на ноль нельзя!

3. 0 : а= 0.

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.2. Потом умножение, деление.

3. И только в конце сложение, вычитание.

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 — простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, числа 4, 8, 15, 27 — составные числа.

Признак делимостипроизведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12.

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а : b и c : b, то (а + c) : b. А если а : b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b.

Если а : c и c : b, то а : b. Исходя из того, что 72 : 24 и 24 : 12, делаем вывод, что 72 : 12.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330. Решение:

Признаки делимости  на  2,  5,  3,  9,  10,  4,  25  и  11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10.

Наибольший общий делитель 

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).   Например, НОД (10; 25) = 5;   а НОД (18; 24) = 6;    НОД (7; 21) = 7.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки.

Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну.  155 = 5 • 31; 62 = 2 • 31. НОД (155; 62) = 31.

Ответ: 31 ученик в классе. 

Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32, …  Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

 Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК):

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с.

Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин,, а также на 45 с. В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60).

45 = 32 • 5;
60 = 22 • 3 • 5.
НОК (45; 60) = 22 • 32 • 5 = 4 • 9 • 5 = 180.
В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

 Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b, то можно выполнить деление с остатком. В таком случае полученное частное называется неполным. Справедливо равенство:

 а = b • n + r,

где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток. Например, пусть делимое равно 243, делитель — 4, тогда 243 : 4 = 60 (остаток 3). То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 • 4 + 3.

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четнымиа = 2n, n N.

Остальные числа называются нечетнымиb = 2n + 1, n N.

Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости». Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия:

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритмы их нахождения и свойства

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Сформулируем несколько определений, имеющих отношение к понятиям наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Если каждое из натуральных чисел делится нацело на натуральное число b , то говорят, что число b является их общим делителем. Так, числа 12 и 18 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Если два или несколько натуральных чисел не имеют общих натуральных делителей, отличных от единицы, то эти числа называются взаимно простыми. При этом каждое из них в отдельности не обязательно должно быть простым. Например, числа 7 и 9 — взаимно простые; 4,5 и 6 — взаимно простые.

Так как числа могут иметь лишь конечное число общих натуральных делителей, то среди них всегда имеется наибольший, который называется наибольшим общим делителем и обозначается НОД. В случае взаимно простых чисел он равен единице.

Рассмотрим стандартный алгоритм нахождения НОД ()

1) Разложим каждое из чисел на простые множители;

2) перебирая все различные простые множители, входящие хотя бы в одно из этих чисел, возьмём каждый из них в наименьшей степени, с которой он входит в числа ;

3) перемножим взятые множители (с наименьшими степенями вхождения). Полученное число и будет НОД( ).

Если натуральное число а является кратным для каждого из чисел (т.е. делится на любое из этих чисел нацело), то а называется общим кратным чисел . В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным. Среди всех общих кратных данных чисел(их бесконечно много) всегда имеется наименьшее; оно называется наименьшим общим кратным и обозначается

Стандартный алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел состоит в следующем:

  1. разложим все числа на простые множители;
  2. в отличие от алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, возьмём каждый из простых множителей в наибольшей из степеней, с которыми он входит в разложение чисел ;
  3. перемножим эти множители (с наибольшими степенями вхождения). Полученное в результате число и будет

Можно определить понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного для произвольных целых (ненулевых, но не обязательно натуральных) чисел.

Так, наибольшим общим делителем целых чисел называется такой положительный общий делитель чисел , который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наименьшим общим кратным отличных от нуля целых чисел называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Как уже отмечалось, отыскание НОД двух натуральных чисел а и b требует предварительного разложения этих чисел на простые множители.

Это несложно сделать, если числа невелики, но разложить на множители многозначные числа бывает трудно. Существует способ отыскания НОД, требующий лишь умения делить с остатком (см. следующий пункт).

Этот способ предложил в свое время Евклид, поэтому он называется алгоритмом Евклида и основан на следующих утверждениях.

  1. Если
  2. Если при делении а на b получается ненулевой остаток q, т.е. и задача сводится к более простой задаче отыскания НОД(а,q).
  3. Если , то , и тогда
  4. Если при делении b на q получается ненулевой остаток , т.е.
  5. Продолжая описанный процесс, получаем все меньшие и меньшие остатки. В конце концов, дойдём до остатка, на который будет делиться предыдущий остаток. Этот наименьший отличный от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b .

Перечислим наиболее важные свойства НОД и НОК, позволяющие лучше изучить природу этих понятий.

Свойства НОД и НОК

Для любых натуральных a,b,C,d справедливы следующие свойства.

  1. Переместительное свойство:

2. В частности, если то (свойство верно только для двух чисел а,b).

3. Если , то найдутся такие натуральные числа С, d , что , причём

4. Если то

5. Если , то

6.Общий множитель С можно выносить из-под знаков НОД и НОК:

7.Два (три) последовательных натуральных числа взаимно просты:

8.Пошаговое (,последовательное) вычисление НОД и НОК:

9.Если b > а , то НОД(а,Ь)= НОД(а,b- а).

10. Если при делении числа а на число b получается ненулевой остаток q

Знание указанных свойств позволяет на практике упрощать решение многих задач, в которых используются понятия НОД и НОК.

Сравнимость по модулю

Рассмотрим в связи с понятием остатков от деления ещё одно полезное определение. Если два целых числа а и b при делении на натуральное число n дают один и тот же остаток q , где , то числа а и b называют сравнимыми по модулю n . Это обозначают следующим образом

и читают: « а равно b по модулю п ».

Можно доказать, например, что введённая таким образом операция сравнения обладает следующими свойствами.

1. Два числа, сравнимые с третьим по одному и тому же модулю, сравнимы между собой (по этому же модулю):

2. Сравнения по одному модулю можно складывать:

Остаток суммы нескольких чисел по модулю п равен сумме остатков слагаемых по модулю n . То есть, проще говоря, при сложении чисел их остатки (от деления на одно и то же число n) также складываются.

3.Сравнения по одному модулю можно почленно перемножать:

Остаток произведения нескольких чисел по модулю п равен произведению остатков сомножителей по модулю п . Т.е., проще говоря, при перемножении чисел их остатки (от деления на одно и то же число п ) также перемножаются.

4. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое число:

В следующей задаче эффективно используются некоторые из свойств операции сравнения по модулю.

Пример №1.

Найти остатки от деления на 8:

1) суммы 88881 + 88882 + 88883 + 88884 + 88885,

2) произведения 88881 • 88882 • 88883 • 88884 • 88885 , не выполняя непосредственно сложения и умножения.

Решение:

1) Числа 88881,88882,88883,88884,88885 при делении на 8 дают соответственно остатки 1,2,3,4,5. То есть

Тогда по свойству 2 имеем

2) По свойству 3 имеем

Ответ: остаток от деления суммы на 8 равен 7; остаток от деления произведения на 8 равен 0.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Будь в законе
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: